利用欧拉定理对三角函数倍角公式进行降维打击

回复 星标
更多

利用欧拉定理对三角函数倍角公式进行降维打击

  • 复数欧拉定理

该公式搭建了复数与指数函数之间的桥梁,而复数又可以用三角函数表示,所以该公式也搭建起了三角函数与指数函数的桥梁。

如此,利用该公式,很多三角函数的问题可以用指数函数来解决。

该公式的证明有很多种方法,如麦克劳林展开式(Maclaurin's Series)。

  • 三角函数倍角公式推导

512767

512767

那么,有没有通用倍角公式呢?也即求

512767

,其中n为自然数

的公式呢?

确实有这样的公式。求通用倍角公式的方法很多,这里采用欧拉公式进行降维打击方案。

我们知道:

512767

两边n次方,得到

512767

也即

512767

上述等式右边采用牛顿二项式定理展开,得到

512767

再根据欧拉定理展开上述等式左边,得到

512767

根据复数相等的公式(实部与实部相等、虚部与虚部相等),即可求得

512767

512767

变形为:

512767

也即

512767

也即,可以

512767

是余弦函数的一元n次有理方程。

512767

512767

可以通过正弦函数与余弦函数的二元n次多项式表示。

当n=2、3、4、5时,得到

512767

上述公式的系数似无规律,不直观,记起来很困难。那么有没有必须要记忆,而直接写出上述公式的方法呢?

还得从上述公式通过欧拉定理和牛顿二项式定理推导来的,其系数与杨辉三角形有关:

512767

512767

相关的杨辉三角数如下图红框:

512767

如第8行的数据为1、18、70、28、1,根据该序列,可以直接写出:

512767

如第13行的数据为1、78、715、1716、1287、286、13,根据这个数列,可以直接写出:

512767

同样地,

512767

相关的杨辉三角数如下图蓝框:

512767

如第9行数为9、84、126、36、1,据此直接写出:

  • 小结

利用高等数学知识,可以降维打击和解决初等和中等数学的问题,如本章内容利用欧拉定理、二项式定理,轻松解决高中三角函数任意倍数公式问题。

  • 本文相关知识:欧拉定理、二项式定理。
此帖已被锁定,无法回复
新窗口打开 关闭