理解线性代数核心算法：矩阵乘法就是“方法乘以对象”

线性代数到底在讲什么？

不理解的知识，当然不会用！

本课程是专栏《20堂课极速理解线性代数》的精华凝炼图文版，10堂课帮助您真正从直观角度理解、消化、吸收线性代数的核心概念与核心算法。

本文直指线性代数最最核心的算法——

矩阵乘法。

记忆矩阵乘法的最速方法

矩阵乘法，在书本上有它的公式，但是太不直观了，不好记忆，一时记住了也很快忘记。

最快的/最难以忘怀的记忆方法来了，直接上例子：

如何计算呢？采用如下方法，先起个名儿吧，叫——

“占位法”。

先把后面的矩阵B向上写出一个“身位”，只要站对位置，后面就手到擒来。

然后，黄线上的数字对应相乘再相加，竖线上的位置对应相乘再相加，搞定！

再直观一点，画成表格——

占位法——用表格画更直观

怎么样，是不是看过一眼再也忘不掉？

占位法解释为什么矩阵乘法没有交换率

矩阵乘法没有交换率，但是为什么？

再看一眼“占位”就知道了——

如果交换占位了，结果一样么？不一样啊，所以没有交换率。

占位法解释矩阵乘法转置换向公式

矩阵乘法虽然没有交换率，但是我们有：矩阵乘法转置换向公式：

有了占位法，这一切都顺理成章了：

这张图已经不用解释，是不是一目了然啊？公式所表达的，翻译过来，无非是：

占位法表格沿绿色虚线整体镜像，计算结果位置当然也发生了镜像！

占位法解释矩阵乘法前提条件

不是什么样的两个矩阵都能相乘的，前提条件是：

A矩阵的行数 = B矩阵的列数

这怎么记啊？

其实，从占位法来看，这是再明显不过的事情了！

所谓矩阵能否相乘的条件，就是表格画不画得出来的条件啊！

想象一下，如果不满足 “A矩阵的行数 = B矩阵的列数”这个条件，就根本无法实现表格中所谓的“对应位置相乘”，因为对应的位置不够啊。

还有一个简单快捷的判断方法，把角标写出来，最相邻的角标数字相等，就可以相乘。

矩阵乘法的基础意义

上一节课，我们人为规定了列向量与行向量的不同意义，因为这样会大大帮忙我们对于向量的理解，下面我们进一步引申——

矩阵的行和列也是不同意义的，矩阵的行数 就认为是“矩阵的维数”。

为啥？

因为矩阵中的元素，是列向量（上节课），而列向量的维度就是矩阵的行数。

OK，那么矩阵乘法有什么最基础的意义？

比如：

对于B来说，原来是三维阵，经过方法A后变成了二维阵，所以2×3意义是，将三维阵降维为二维阵。

所以，单从形式上来看，矩阵相乘完成了 “维度的传递”。

乘法的本质

想要了解矩阵乘法的本质，那么您了解普通乘法的本质么？

先来一个小学乘法：

2个人，每人3个苹果，一共几个苹果？
2×3=6
上面乘法的意义是：
（2倍）×（3个苹果）=（6个苹果）

所以乘法是：

数×量
即：（方法）×（对象）=（新的对象）

“当我们暂时剥夺数量乘法的交换率，反而可以更好地理解，什么是乘法。

乘法就是把‘对象’施加‘方法’成为新的‘对象’的过程，表示为：

‘方法’ × ‘对象’

咱们把上节课的例子拿出来再仔细理解一下：

OK，如果咱们的“对象”很多，比如4位将军的信息都要分析呢，这样：

清晰吧！其实，4x4的大矩阵，也还是由4个列向量组成的：

所以——

“矩阵是向量的向量。”

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好了，我们再进一步，如果要分析多位将军的多种能力，怎么办：

就这么简单！总结一句话：

乘法就是把‘对象’施加‘方法’成为新的‘对象’的过程，表示为：

‘方法’ × ‘对象’

这就是矩阵乘法的本质。

学过编程的同学可能对这两个词很熟悉，会理解得比较快。紧接着后面两节课，我们会继续切入这个本质意义，分别从“运动”和“维度”两个角度，解释方法与对象的理念。

数学与编程是完美相通的学问

本课程是专栏《20堂课极速理解线性代数》的精华凝炼图文版，10堂课帮助您真正从直观角度理解、消化、吸收线性代数的核心概念与核心算法。